高斯的这篇论文同样叫做《非欧几里得几何的解释的尝试》，不过他的论证思路的确和约瑟夫的那篇不一样。他的思路更简单，也更特别一些。他用投影的概念，在单位圆上证明了新的几何与欧几里得几何的相容。如果欧几里得几何成立，那么新的几何也一定成立！
这种简洁的推导，美妙的证明，充满了数学的美感，对于拉普拉斯等人来说，再也没有比它更震撼的了。
“我想，对于那位实际上是匿名者的路西恩·伊文斯先生的那篇论文，大家应该已经没有怀疑了吧？”约瑟夫开口道，“如果是这样，我就要宣布这次听证会的结果了，嗯，我认为傅里叶先生在关于这篇论文的审评中，做出了正确的评价。现在，你们谁赞同，谁反对？”
于是大家，包括拿破仑在内，便都一起表示了赞同。
“很好，我很高兴地看到，我们的科学院毕竟是科学院，大家都愿意讲道理。对还是不对，大家都愿意用论文来说话。嗯，傅里叶先生，您是在看到完善的证明之前，做出让这篇论文通过的判断的。而我们也都知道，在这篇论文中，有很多的超越了我们的常识的，让我们感到难以接受的东西。现在，我想要请您来讲一讲，您在没有见到完善的证明之前，为什么会做出让这篇论文通过的判断。”
傅里叶点了点头，便走上了讲台。
“诸位尊敬的院士，其实一开始我刚刚看到这篇论文的时候，也是感到荒谬，感到不可置信，并深信这篇论文一定是存在着某种错误的。只是当时我觉得，这篇论文的创作者虽然弄出了一篇荒谬的作文，但是他在论文中表现出的数学水平却非常的惊人。我想，任何真正认真地克制住自己心中的厌恶，认认真真地看过这论文的人，都应该能发现这一点。我当时就想：就算这篇论文，真的是错误的，荒谬的。它也是更高级的错误和荒谬，就向芝诺悖论（阿喀琉斯永远追不上一只在他前面一点的乌龟）那样，显然是荒谬的，但却很可能是有着非常深刻的内涵的荒谬。是值得认真对待的荒谬。就好像对芝诺悖论的研究，引出了对有限和无限，连续和离散的深入研究一样。
所以我细细地又将这篇论文认认真真地研究了一番。这样的研究——老实说，让我很是恐惧。我的心告诉我，这东西肯定是错的，世界上哪有这样的道理。但是我的大脑却告诉我，这篇论文从数学上来说，一点错误都没有。
这真是一件可怕的事情，因为这几乎就意味着，我们的数学和现实矛盾了。很可能我们的数学从根子上就错了。当时我被自己的这个想法，吓得连饭都吃不下了。”
对于这个说法，就连拉普拉斯也忍不住点头表示同意。因为，这的确是太吓人。简直和宇宙3K微波背景辐射突然在整体上发生振幅在百分之一至百分之五之间各向同性的波动，或者说宇宙闪烁起来了一样吓人。
“但是，在这时候，我突然想起来了一件事。那是院长的那个看起来完全违背了常理的‘波拿巴亮斑实验’。那个实验不也是听起来完全不符合现实吗？但是只要条件合适，它就真的会在现实中出现。于是我得到了一点安慰，我想，也许既不是数学错了，也不是现实错了，而是我自己对现实的理解错了。现实世界是这样的宏大，我们能接触的范围，却是这样的有限。我们凭什么去决定，什么是符合现实的，什么是不符合现实的呢？说不定，在某种特殊的条件下，这种奇怪的几何真的能够实现呢？就像只要条件适合，我们就真的能在一个不透明的物体留下的影子中间，看到一个亮斑一样。
所以，我就将这篇论文，以及我的想法和院长，还有高斯院士商量了一番。他们都同意我的想法，并且和我一起试图在现实中找出那个能让这种奇怪的，和直观不一样的几何成立的条件。最终的结果，就是刚刚大家看到的那两篇论文。
这件事让我很有感触。”傅里叶听了听，继续说道，“我们对于什么是现实，最好再谨慎些。不要以为我们真的知道什么是现实。很多时候，真正的现实世界，和我们以为的并不一样。相比之下，我觉得，数学推演中推出来的东西，说不定比我们所看到的现实反倒是更可靠一些。我记得波拿巴院长以前就说过，我们的眼睛会欺骗我们，我们的耳朵也会欺骗我们，我们的想象力也会欺骗我们，但是数学不会。这就是我的想法，谢谢大家。”
于是大家便都鼓起掌来。